La sucesión de Fibonacci y el número Phi, 1.61803...

Patricia Kesselman 2006 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

La sucesión de Fibonacci se define así: cada término es la suma de los dos anteriores, y los dos primeros términos son 1 y 1.

Se forma entonces fácilmente: 1, 1, 2 (1+1), 3 (2+1), 5 (3+2), 8 (5+3), 13 (8+5), 21 (13+8), 34 (21+13), 55 (34+21), 89 (55+34), ...

La relación con el número phi es el cociente de pares sucesivos se acerca cada vez más a phi:

1 / 1 = 1.00000
2 / 1 = 2.00000
3 / 2 = 1.50000
5 / 3 = 1.66667
8 / 5 = 1.60000
13 / 8 = 1.62500
21 / 13 = 1.61538
34 / 21 = 1.61905
55 / 34 = 1.61765
89 / 55 = 1.61818
144 / 89 = 1.61798
233 / 144 = 1.61806
377 / 233 = 1.61803
610 / 377 = 1.61804
987 / 610 = 1.61803
1597 / 987 = 1.61803

Otras propiedades interesantes:

Si en lugar de utilizar 1 y 1 como los primeros números de Fibonacci, se utilizan cualesquiera otros números, el cociente de pares sucesivos igualmente tiende a phi.

La suma de todos los primeros 'n' números de Fibonacci, es igual al número de Fibonacci 'n+2' menos 1.

La suma de los cuadrados de dos números de Fibonacci 'n-1' y 'n', es igual al número de Fibonacci '2n-1'.

El número 1/89 es un número terriblemente interesante: el valor numérico es 0.01123595505618, que a simple vista no tiene nada de raro, pero analizando un poco, tomando los números de Fibonacci como si fueran fracciones decimales de la siguiente manera:

0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013
0.000000021
0.0000000034

... y resulta que al sumarlos todos obtenemos la fracción 1/89

La suma de cualesquiera 10 números de Fibonacci consecutivos es siempre divisible por 11.

La suma de cualesquiera 10 números de Fibonacci consecutivos es siempre el 7º número de la serie de 10 multiplicado por 11.

Con cualquier grupo de 4 números de Fibonacci consecutivos se pueden formar tripletes pitagóricos (tres números que representan la longitud de los lados de un triángulo rectángulo). Por ejemplo: 1,2,3,5. Se toma el producto de los números extremos: 1x5 = 5, el doble producto de los 2 números centrales: 2x2x3 = 12 y la suma de los cuadrados de los números centrales: 2^2 + 3^2 = 13.

Con estos tres números se forma un triángulo rectángulo: 5^2+12^2=13^2

La suma de los cuadrados de cualquier par consecutivo de números de Fibonacci es otro número de Fibonacci.

Existe una fórmula para calcular los números de Fibonacci, que es mucho más directa que utilizar la definición recursiva. Llamando r a la raíz cuadrada de 5, tenemos: F(n) = 1/r*(((1+r)/2)^n-((1-r)/2)^n). Para valores grandes de 'n', se puede aproximar como F(n)=phi^n/r (para n>10 la aproximación es muy buena).

"El libro de la Naturaleza está escrito en el lenguaje de las matemáticas".

La frase, pronunciada por el astrónomo Galileo Galilei en 1623, tiene hoy plena vigencia. Basta echar un vistazo a nuestro alrededor para comprobar que detrás de todos los fenómenos naturales se esconde alguna clave matemática. Y que ciertos números se repiten continuamente.

Así, por ejemplo, las flores tienen en su mayoría 5 pétalos (geranios, pensamientos rododendros,.), aunque también es frecuente encontrar 3 en los lirios, 8 en los ranúnculos y 21 en las margaritas. El 5 es, además, una cifra habitual en las semillas de frutas como pepinos, tomates, peras y manzanas. Las espirales de la piña tropical (ananas) son 8 y 13, igual que las de las piñas de los pinos y otras coníferas. Y en la cabeza de un girasol, las semillas se disponen en espirales de 34 y 55, o 55 y 89.

En contra de lo que podríamos pensar a simple vista, esta reiteración de dígitos no responde a un simple "capricho de la Naturaleza". Se trata de los números de la famosa secuencia de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,.) que un matemático italiano describió hace más de 800 años. La fórmula secreta es sencilla: cada número de la secuencia se genera a partir de la suma de los dos anteriores.

Al mismo tiempo, si dividimos cada dígito de la serie por el inmediatamente anterior, el resultado es aproximadamente siempre el mismo: una constante con infinitas cifras decimales conocida con la letra griega Phi (φ), y cuyo valor es 1,6180339... Lo que es más, a medida que avanzamos en la secuencia de Fibonacci más se acerca el ratio de cada par de números a Phi.

Pero, ¿por qué es tan importante la constante Phi, también conocida como el número de oro?

Imaginemos que tenemos un segmento y que queremos fraccionarlo en dos partes de tamaños distintos. Podemos hacerlo de muchas formas, por ejemplo dividiéndolo de forma que la parte mayor sea el triple que la menor. Sin embargo, sólo existe una forma de dividir el segmento de modo que la relación (razón) que haya entre el segmento completo y la mayor de las partes en que se divide sea igual a la que mantienen las dos partes entre sí. Decimos entonces que ambas partes se hayan en proporción áurea, y su valor es Phi.

Utilizando los números de la sucesión de Fibonacci podemos construir una serie de rectángulos áureos, es decir, en los que los lados siempre mantienen esa proporción áurea. Basta con empezar dibujando dos pequeños cuadrados que tengan por lado una unidad. A partir de ellos se forma otro cuyo lado mayor es 2, y que sirve como lado de un nuevo cuadrado. El proceso se puede repetir indefinidamente.

Lo más llamativo es que si unimos los vértices de estos rectángulos se forma una curva que seguramente nos resulta familiar. Se trata de una espiral casi idéntica a la que aparece en las conchas de moluscos como el Nautilus, en el crecimiento de las hojas de una planta, en los huracanes, en la forma de la Vía Láctea, en los cuernos de los rumiantes e incluso en la cóclea o caracol de nuestro oído interno. Además de su omnipresencia, esta espiral, apodada logarítmica, tiene la peculiaridad de que, aunque aumente su tamaño, la forma - proporciones- no se altera.

Más allá de la forma, la serie de Fibonacci aparece también en la genealogía de ciertas especies. Es el caso de los machos o zánganos de una colmena. La clave está en que las abejas hembras de la colmena nacen de los huevos fertilizados (tienen padre y madre), mientras los machos o zánganos nacen a partir de huevos no fertilizados, o lo que es lo mismo, sólo tienen madre. De esta forma, sus árboles genealógicos siguen estrictamente una distribución de Fibonacci: un macho (1) no tiene padre, sino una madre (1,1), dos abuelos - padres de la reina - (1,1,2), tres bisabuelos - porque el padre de la reina sólo tiene madre - (1,1,2,3), cinco tatarabuelos (1,1,2,3,5), etc.

El cuerpo humano tampoco es ajeno al número de oro. Con su conocido dibujo del hombre de Vitrubio, Leonardo da Vinci ilustró el libro "La Divina Proporción" del matemático Luca Pacioli, editado en 1509. En dicha obra se describen cuáles han deben ser las proporciones de las creaciones artísticas. Pacioli propone una figura humana en la que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo son proporciones áureas. Así, en este hombre armónicamente perfecto para Pacioli, el cociente entre la altura del hombre - el lado del cuadrado - y la distancia del ombligo a la punta de la mano - el radio de la circunferencia - es el número áureo.

Y no es el único caso. En la mayoría de los huesos que integran nuestro esqueleto aparece insistentemente Phi. Así, por ejemplo, los tres huesos de cada dedo de la mano están relacionados por esta constante. Y en el campo de la odontología, se ha descubierto que la dentadura va creciendo siguiendo proporciones áureas, de forma que las anchuras de los cuatro dientes frontales, desde el incisivo central hasta el premolar, se encuentran entre si en proporción áurea.

La molécula de ADN, que contiene el libro de la vida, también se ajusta a la proporción áurea. Cada ciclo de su doble hélice mide 34 angstroms de largo por 21 angstroms de ancho, dos números de la secuencia de Fibonacci cuyo ratio es, por supuesto, Phi.

El personaje: Leonardo Fibonacci

La secuencia de Fibonacci se debe a un renombrado matemático italiano de la Edad Media. Su nombre completo era Leonardo de Pisa (1170-1240), aunque él se llamaba a sí mismo Fibonacci, como diminutivo de "hijo de Bonacci" (filius Bonacci), en honor al apodo de su padre. Hijo de diplomático, se educó en el norte de África y recorrió en su juventud varios países de Oriente Medio. Una vez de vuelta a Europa, recopiló todo lo aprendido en un tratado de álgebra y aritmética titulado "Liber abaci" (Libro del cálculo), escrito en latín, que permitió expandir en Europa la notación decimal de origen indo-árabe que usamos actualmente, con los signos hindúes 1,2,3..,9, y el 0 árabe. En este libro hacía también mención, por primera vez, a la sucesión que hoy llamamos de Fibonacci en un problema sobre la reproducción de los conejos.

Varios siglos después, un matemático europeo llamado Edouard Lucas (1842-1891) estudió la secuencia de Fibonacci y descubrió que dividiendo dos números consecutivos se obtenía la proporción áurea.

La fórmula de la eficiencia

Durante mucho tiempo, los científicos han tratado de explicar por qué se repiten con tanta frecuencia estos números y proporciones en el universo. La filotaxia, área de la botánica dedicada al estudio de la disposición de las hojas sobre el tallo, parece haber dado con una respuesta. Cuando una planta crece, la estrategia que utiliza para garantizar su supervivencia consiste en maximizar la distancia entre las ramas y las hojas, buscando ángulos que no se solapen y en los que cada una de ellas reciba la mayor cantidad de luz, agua y nutrientes posible. El resultado es una disposición en trayectoria ascendente, y en forma de hélice, en la que se repiten los términos de la sucesión de Fibonaci. En definitiva, la naturaleza no entiende de matemáticas, sino de eficiencia.

Eso mismo es lo que viene a decir un reciente estudio del matemático Alan Newell, de la Universidad de California. Tras observar la secuencia de Fibonacci en la disposición de semillas en cactus, puso en marcha un análisis detallado de la forma de estas plantas, el grosor de su piel y otros parámetros que dirigen el crecimiento. Al introducir los datos en un ordenador descubrió, con sorpresa, que las configuraciones que la computadora identificaba como más estables estaban siempre ligadas a las formas de Fibonacci presentes en los seres vivos. Y es que aquel matemático italiano halló, sin pretenderlo, la clave del crecimiento en la Naturaleza.

En el terreno de las creaciones artísticas, Phi no ha pasado desapercibida. El conocimiento de la sección áurea y el rectángulo dorado se remonta a los griegos, que utilizaron estas proporciones en la que se considera su mayor obra de arte: el Partenón de Atenas. No en vano, Phi es la inicial del nombre del escultor griego que supervisó la construcción del templo, el original Fidias.

Tal es la reputación de Phi, que se dice que este número ha formado parte del "conocimiento secreto" protegido por generaciones de francomasones, illuminati, caballeros de la Orden de Rosacruz y otras sociedades secretas. Secreto o no, lo cierto es que las proporciones áureas han inspirado a arquitectos, pintores, escritores e incluso músicos de todas las épocas. Los expertos hablan de que construcciones tan antiguas como las pirámides egipcias se levantaron bajo el principio del número de oro. Obras maestras de Leonardo da Vinci, Miguel Ángel, Durero o Dalí, entre otros pintores, llevan la marca de la divina proporción.

De Mozart se dice que dividió algunas de sus sonatas en dos partes que reflejan casi exactamente la proporción áurea. Stradivari la utilizó para construir sus famosos violines. Las dimensiones del edificio de la sede de la ONU en Nueva York poseen la proporción áurea, con el fin de conseguir el orden arquitectónico perfecto en el epicentro de la organización que rige los designios del mundo. Incluso, intencionalmente o no, en el libro del Génesis de la Biblia se describe que "el arca (de Noé) tendrá 450 pies de largo, 75 pies de ancho y 45 de altura", donde la proporción de 75/45 es de nuevo el número dorado. Sin olvidar que algo tan cotidiano como las actuales tarjetas de crédito, o nuestro carné de identidad, mantienen esa misma proporción.

El motivo para la gran propagación de Phi hay que buscarlo en su supuesta relación con la belleza y la armonía. Aunque, todo hay que decirlo, son muchos los científicos dudan de que nuestra percepción de lo que es bello esté vinculada a este número.

De momento, las investigaciones de Stephen Marquardt, investigador de la Universidad de California, parecen dar un espaldarazo al vínculo entre belleza y proporción áurea. Tras examinar multitud de rostros humanos y realizar numerosas encuestas, este cirujano ha llegado a la conclusión de que los rostros considerados más atractivos son aquellos cuyas partes determinan longitudes que están en proporción áurea. Y esta relación, señala, no depende de las diferencias existentes en la concepción de belleza según razas, culturas o épocas.

La máscara áurea

Fruto de sus pesquisas, Marquardt ha construido una máscara facial en la que utiliza la razón áurea para establecer la distancia ideal entre los diferentes elementos de un rostro. La belleza de una cara puede ser determinada según la desviación que presentan sus distintas partes respecto a lo que establece la máscara. Así, por ejemplo, el rostro de la actriz Michelle Pfeiffer se ajustaría exactamente a los cánones áureos de la máscara. Su invento, asegura, tiene aplicaciones directas en cirugía plástica y reparadora, así como para maquillarse.

El doctor Marquardt se atreve incluso a sugerir una finalidad biológica para la belleza. Según el investigador, se trata de un mecanismo para asegurar que los humanos se reconocen entre sí y se sienten atraídos por miembros de su misma especie. Las caras más hermosas son las que resultan más fácilmente reconocibles como humanas, algo que sabemos comparando inconscientemente un rostro con el rostro ideal que tenemos en nuestra mente. "La belleza es sencillamente humanidad", afirma.

Más conocida, y quizás por ello menos impactante, es la omnipresencia de la constante Pi (π =3,141592653.) en las formas circulares. Y es que, en cualquiera de ellas, la longitud de la circunferencia dividida por su diámetro coincide siempre con este número.

El primer intento de estimar el valor de Pi se atribuye a los Babilonios, que en el año 2000 a.C. aseguraban que equivalía a 3 1/8 (3,125). En la misma época los indios utilizaban la raíz cuadrada de 10 para Pi (3,1622.). Pero ambas aproximaciones tenían un error a partir del segundo decimal.

Años más tarde, Arquímedes aventuró que Pi estaba entre 3+10/71 y 3+1/7. Más cerca se quedó, en el 150 d.C., Ptolomeo de Alejandría, que hablaba de 377/120 (3,14166667.). El chino Tsu Ch'ung-Chi, en el año 350, acertó hasta tres decimales con la fracción 355/113 (3,14159292.). Pero hubo que esperar a 1761 para que un matemático llamado Lambert probara que se trataba de un número irracional, es decir, imposible de obtener a partir de ninguna fracción, lo que implicaba que el cálculo de sus decimales no acabará nunca.

A partir de aquel momento se puso en marcha una carrera para calcular el mayor número de decimales posible, especialmente impulsada a partir del siglo pasado con el uso de ordenadores. En 1949, John Von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC, y tras setenta horas de trabajo obtuvo 2037 cifras decimales. En la actualidad, el récord lo ostenta Yasumasa Kanada, de la Universidad de Tokio, que en 2002 extrajo 1,24 billones de decimales para Pi. Toda una hazaña.

Pi natural

A pesar de que en la Naturaleza no existen esferas tan perfectas como una bola de billar, ni cilindros ideales, la ubicuidad de Pi es innegable. No sólo aparece cuando una gota cae en el agua o en la curvatura del arcoiris. En el mundo animal, la altura de un elefante, del pie al hombro, se obtiene multiplicando Pi por 2 y por el diámetro de su pie. Cualquier onda o espectro contiene a Pi, lo que supone su presencia en la luz y en cualquier vibración sonora, incluyendo las composiciones musicales. Además cobra especial significado a la hora de calcular el movimiento de los planetas y las estrellas, incluso el tamaño del Universo. Y en el mundo subatómico, los físicos se han topado con Pi en las supercuerdas, esos elementos últimos de la materia con los que se espera poder unificar de una vez por todas las leyes de la física.

Por su parte, un geólogo de la Universidad de Cambridge llamado Hans-Henrik Stolum ha calculado el ratio entre la longitud real de los principales ríos, desde su nacimiento hasta su desembocadura, y lo que mide la línea recta entre ambos puntos. El resultado medio para todos los ríos es aproximadamente 3,14, cercano al valor de Pi.

Esta constante entiende también mucho de probabilidades. Basta saber, por ejemplo, que la probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6/Pi2. O que si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es (Pi-2)/4.

CURIOSIDADES SOBRE π· La referencia más antigua a Pi es un papiro escrito en 1650 a.C. por un escriba llamado Ahmes.

· No hay ningún 0 en los 31 primeros dígitos de Pi.

· En la posición 763 hay seis números 9 en una sola fila. Es lo que se conoce como Punto de Feynman.

· En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann mostró que Pi no era la raíz de ningún polinomio con coeficientes nacionales. La conclusión inmediata: que la cuadratura del círculo, que tanto se había perseguido hasta entonces, era imposible.

· El matemático alemán Ludolph van Ceulen(1540-1610) pidió que, como epitafio, escribiesen en su lápida las 35 cifras del número Pi que había calculado. Los alemanes llaman a Pi el número ludofiano.

· Para calcular la circunferencia del universo conocido basta con usar 39 decimales de Pi, y sólo 16 para estimar la distancia de la Tierra al Sol.

· En varios lugares del mundo, entre ellos el famoso Exploratorium de San Francisco, se celebra el día de Pi cada 14 de marzo (3/14).

· Este mismo año, el psiquiatra japonés Akira Haraguchi logró recitar de memoria 83.431 decimales de pi, necesitando para ello 13 horas. Todo un récord.

El desarrollo de una colonia de bacterias, las encuestas de población, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, e incluso la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado un centenar de veces tienen algo en común: un extraño número comprendido entre 2 y 3, con infinitas cifras decimales y llamado e, o número de Euler (e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135...).

Aunque las primeras referencias a este número datan de 1618, fecha en la que John Napier publicó su valor junto a otros logaritmos, fue el matemático suizo Leonhard Euler quién empleó por primera vez la letra e en 1727 para nombrarlo. Este genio, del que se decía que "calculaba sin aparente esfuerzo, como los hombres respiran o las águilas se sostienen en el aire", mostró que el número e podía ser la base más "natural" para los logaritmos, que en aquella época eran de gran ayuda para realizar operaciones aritméticas.

Además, ideó una fórmula bautizada como identidad de Euler y considera por muchos como la más bella e importante de las matemáticas:

En ella se aúnan, de forma escueta, varios conceptos claves de esta ciencia:

π, el número más importante de la geometría. e, el número mas importante del análisis. i, el número mas importante del álgebra.

Del bosque a la mesa forense

Más allá de su belleza matemática, el número e tiene importantes implicaciones en el mundo que conocemos. En biología, por ejemplo, una de sus principales aplicaciones es el crecimiento exponencial. Este tipo de crecimiento surge cuando no hay factores que limiten el crecimiento, como ocurre en ciertas poblaciones de bacterias, o en la recuperación de una superficie boscosa después de un incendio. Para este tipo de crecimiento se aplica la siguiente fórmula:

N = No · et

Esto nos permite adivinar cual será la población (N) en un determinado tiempo (t) a partir de la población inicial (No).

A la hora de datar un fósil, la constante de Euler también está presente. A mediados del siglo XX, un químico llamado Libby descubrió el carbono-14, un isótopo radiactivo del carbono que desaparece lentamente. El C14 reacciona con el oxígeno en las capas altas de la atmósfera dando dióxido de carbono radiactivo, el cual entra en la superficie de la Tierra, en la que se desarrolla la vida. Mientras un ser está vivo, va reponiendo el C14 que pierde, pero cuando ese ser muere, sólo se producirá en él una pérdida continua y lenta de C14. Una vez que los químicos consiguieron llegar a medir la cantidad de C14 contenida en un ser no vivo, como se conocía la velocidad de desintegración del C14, se lanzaron a buscar una ecuación que les diera como solución el tiempo necesario para que en ese ser quedara tan solo esa cantidad de C14. Y se encontraron con la sorpresa de que la fórmula contenía al número e.

Los forenses, como los paleontólogos, también deben tener este número en cuenta. Y es que e permite determinar en un asesinato el momento de la muerte. Para ello es necesario aplicar la ley de Newton sobre el enfriamiento que establece que la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. Esto quiere decir que cuando un objeto está mucho más caliente que el aire exterior, su velocidad de enfriamiento es alta, de manera que pierde temperatura muy rápidamente. Por el contrario, cuando un cuerpo está un poco más caliente que su entorno, su velocidad de enfriamiento es baja.

Una persona viva no se enfría continuamente. El metabolismo humano asegura el mantenimiento de la temperatura del cuerpo alrededor de los 36ºC. Pero, una vez muertos, nuestro organismo deja de producir calor y, por tanto, comienza a enfriarse siguiendo la ley de Newton, que se aplica con la fórmula matemática siguiente:

T = Taire + (Tcos - Taire) / ek·t

En ella T es la temperatura, t es el tiempo en horas después de medianoche y k es una constante. De nuevo e está presente.

Hay más. Esta constante también está ligada a la razón áurea y a la espiral logarítmica. Cuando se cuelga una cadena o un cable por los extremos, tiende a adoptar una forma que se relaciona con el número e. Incluso en algo tan mundano como el cálculo de los intereses bancarios es necesario recurrir a la constante de Euler.

Existen alrededor de 25 constantes físicas que aparecen en las fórmulas que describen nuestro universo, desde lo más grande (los cúmulos de galaxias) hasta lo más pequeño (los quarks). De esas 25 constantes, los físicos consideran que las más importantes son c (la velocidad de la luz), G (la constante de la gravitación) y h (la constante de Planck, que gobierna el mundo de los átomos).

A diferencia de los números vistos hasta ahora, se trata de constantes estimadas en el laboratorio para explicar fenómenos físicos y expresadas en unidades, por lo que dependen de éstas. Así, por ejemplo, la velocidad de la luz tiene un valor de 299.792.458 metros por segundo. Y la constante de Planck, 6,63 × 10-34 julios por segundo.

Aparentemente no hay nada "mágico" en estas cifras. La sorpresa surge cuando se combinan c y h con otra constante, la carga del electrón (e), obteniendo un número sin unidades ni dimensiones: 7,297352533x10-3. Esta constante, también conocida como alpha, es la "constante de la estructura fina", que describe cómo actúan las fuerzas a nivel atómico. Los físicos creen que se trata de una pieza importante en el desarrollo de nuestro universo, clave para alcanzar la ansiada "teoría del todo". Esta constante es extraordinariamente importante. Si su valor fuera solo algo diferente, nuestro universo sería completamente distinto. Por ejemplo, sabemos que el agua es 107 veces más opaca a la radiación ultravioleta e infrarroja que a la luz visible. Dado que el tejido vivo en general y los ojos en particular están compuestos mayormente por agua, la comunicación por la vista sería imposible si no fuera por el hecho de que la transmisión de la luz por el agua concuerda con la radiación del sol, algo posible gracias a una determinación cuidadosa de los valores de las constantes de la fuerza de gravedad y la fuerza electromagnética, además de la constante de Planck y la masa del electrón.

Por otro lado, si se divide la intensidad del campo eléctrico que mantiene unidos los átomos por la fuerza de la gravitación universal, que determina la formación y el mantenimiento de las galaxias, estrellas, planetas y satélites en sus órbitas, también obtenemos un número fijo: un 1 seguido de 36 ceros. Esta constante, conocida como N, es tan importante que, si tuviera menos ceros, el Universo sería mucho más pequeño y efímero, no podrían existir criaturas de mayor tamaño que un insecto y no habría tiempo suficiente para la evolución de las especies.

Igual de crítico es el valor constante que relaciona la fuerza nuclear fuerte con la fuerza electromagnética. Si esta relación aumentase en sólo el 2% el universo se quedaría sin hidrógeno y sin agua, medio indispensable para la vida. La constante omega (ω), relacionada con la densidad del Universo, determina la cantidad de materia oscura. Y la constante cosmológica de Einstein, denotada por la letra griega lambda (λ), representa la fuerza de la "antigravedad", y es fundamental para explicar la expansión del Universo.

El extraordinario equilibrio que esto supone ha fascinado durante siglos a científicos de todo el mundo. El premio Nobel de Física Arno Penzias expresaba así el carácter enigmático del universo: "La astronomía nos lleva a este evento único, un universo que fue creado de la nada y que está equilibrado delicadamente para proveer exactamente las condiciones requeridas para sustentar la vida. En la ausencia de un accidente absurdamente improbable, las observaciones de la ciencia moderna parecen sugerir un plan subyacente que podríamos llamar sobrenatural."

¿Está cambiando la velocidad de la luz?

Como su propio nombre indica, se supone que las constantes físicas permanecen inmutables, reflejando una constancia subyacente de la naturaleza, eterna y universal, en todos los tiempos y los espacios. Este esun pensamiento heredado de los padres de la ciencia moderna, como Copérnico, Kepler, Galileo, Descartes o Newton, para quienes las leyes de la naturaleza eran ideas inalterables de una mente divina. Dios era un matemático, y el descubrimiento de las leyes de la naturaleza es una incursión en su Mente. Sin embargo, en algunos casos la experimentación parece desmentir esta permanencia, sugiriendo que ciertas constantes podrían cambiar a lo largo del tiempo.

Ese sería el caso de la velocidad de la luz, que podría haberse ralentizado a lo largo del tiempo, según proponía hace unos años en la revista Nature el astrofísico y escritor australiano Paul Davies, conocido por sus investigaciones en torno de los agujeros negros y el comienzo del universo.

El trabajo de Davies surgió como respuesta al enigma propuesto por el astrónomo John Webb y su equipo de la Universidad de Sidney. Analizando la luz llegada "del pasado" de un cuásar distante - objeto celeste similar a una estrella -, Webb llegó a la conclusión de que la constante de estructura fina de la luz del cuásar era alrededor de una millonésima parte más pequeña de lo previsto. Davies investigó cuál de las constantes sobre las que está basada alfa había variado a lo largo del tiempo y llegó a la conclusión de que debía ser la velocidad de la luz. "Si la velocidad de la luz varía, el Big Bang podría haber sido hace doce o quince mil millones de años -afirmó Davies-. La velocidad de la luz podría haber sido infinita en ese momento, lo que explicaría muchas cosas de nuestro universo actual". Y es que la supuesta variación de esta constante, además de contradecir la teoría de la Relatividad de Einstein, podría dar explicación a fenómenos como la temperatura casi uniforme del Universo, así como reforzar las teorías sobre las dimensiones espaciales adicionales.

Davies no es el único que aporta pruebas en esta dirección. En 2004, analizando el reactor nuclear natural de hace 2.000 millones de años que fue encontrado en 1972 en Oklo, en África Occidental, algunos científicos señalaron que la constante alpha por aquellas fechas podría haber sido ligeramente mayor, lo que en principio supondría que la velocidad de la luz habría variado en los dos últimos milenios.

Otros investigadores discrepan con estas interpretaciones, y aseguran que las diferencias observadas podrían explicarse por una variación en la intensidad de la fuerza electromagnética entre los electrones. Aún queda mucho trabajo por hacer, aseguran, antes de afirmar que la velocidad de la luz u otras "constantes universales" podrían estar cambiando.

[Por Manuel de León, Vicepresidente de la Real Sociedad Matemática Española y Académico de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales]

Las matemáticas nos enseñan las pautas escondidas en las masas de datos con las que el universo nos bombardea continuamente. Pero esas pautas obedecen auna necesidad de optimizar. Al terminar de leer este artículo quédese con esta pregunta: ¿optimiza el universo las constantes físicas?

Optimizando espacio

En 1606, Sir Walter Raleigh propuso al matemático Thomas Harriot una cuestión que preocupaba a la Armada inglesa: ¿cuál es la mejor manera de apilar las balas de cañón en las cubiertas de los barcos? Harriot escribió a su colega Johannes Kepler. La respuesta fue la llamada conjetura de Kepler: justamente la manera de apilar las naranjas en las fruterías. Con algo más de tecnicismo, ninguna naranja más se puede introducir en el mismo receptáculo. La densidad medida como la razón entre el espacio ocupado y el espacio total es precisamente π/18.

Aunque pueda parecer obvio, los matemáticos llevan ya casi cuatro siglos intentando probar que esto es así, en gran medida porque la demostración conlleva una enorme cantidad de cálculos de ordenador. En 1998, el matemático norteamericano Hales presentó una demostración que todavía no ha sido aceptada definitivamente; el propio autor estima que tendrá una prueba formal en 20 años más. Pero no crea que los matemáticos nos dedicamos a problemas que los fruteros han resuelto hace mucho tiempo: el plegamiento de las proteínas es tampoco una versión compleja de los problemas de empaquetamiento.

Optimizando tiempo

Usted seguramente habrá sufrido el invierno pasado una gripe anual. El esquema es bien conocido: dos días para desarrollar la enfermedad y una semana para curarse. Los virus crecen exponencialmente (parecen conocer a nuestro amigo el número e) y. ante su ataque, el organismo reacciona lentamente. Esta es la respuesta correcta, que eones de evolución han enseñado: si la respuesta fuese tan rápida como el ataque, se produciría un equilibrio, y usted arrastraría su gripe durante largos años. Al ser lenta, el organismo puede hacer acopio de anticuerpos y dar un ataque masivo. Le sorprenderá saber que este modelo matemático es exactamente el mismo que produce esos maravillosos patrones coloridos de las conchas marinas. ¡Pareciera que la naturaleza optimizase también la cantidad de matemáticas que precisa!

Optimizando el crecimiento

Todos conocemos esos maravillosos campos de girasoles. Observemos uno de ellos: veremos muchas espirales entrelazadas y, si contamos las que giran a izquierda y las que lo hacen a la derecha, encontramos siempre dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci. ¿Cuál es la causa? El girasol va creciendo paso a paso, con mucho cuidado, produciendo las proto-hojas optimizando el espacio que ocupan. Ese crecimiento cuidadoso con números enteros es capaz de producir el a veces llamado el más irracional de los números, el número φ.

¿Son las constantes "constantes"?

Hay ciertos números que aparentan ser "mágicos", y a la vez, hay constantes físicas que no le van a la zaga. ¿Cuáles son más "constantes"? Lo cierto es que la física de los primeros segundos de nuestro universo parece haber producido las constantes que ahora observamos, que, de pasada, son las que permiten que un ser humano (yo en este caso) esté ahora escribiendo un artículo (recuerden el principio antrópico). Pero no puede hablarse en realidad de "constantes matemáticas", sino de números. Hay una cantidad infinita de números irracionales como π, e o φ; y desde un punto de vista estrictamente matemático, no hay diferencias entre unos y otros.

Pero también es verdad que las matemáticas proporcionan modelos para que puedan realizarse todas las constantes físicas. ¡Esta es "la irrazonable efectividad de las matemáticas" de la que hablaba el premio Nobel de Física Paul Wigner!